Ajouter 9, c'est ajouter 10 puis enlever 1 : votre enfant peut-il choisir sa méthode ?

Dimanche soir, l'ardoise Velleda sur les genoux, vous préparez avec votre fils la séance de calcul mental du lundi. Vous lisez : « 47 + 9. » Il fixe le plafond, ses lèvres bougent, il finit par dire 56.

C'est juste. Il a mis vingt-cinq secondes.

Vous demandez comment il a fait. « J'ai fait 7 plus 9, ça fait 16, je pose 6, je retiens 1, et 4 plus 1, ça fait 5. » Il a posé l'addition dans sa tête, colonne par colonne, comme sur le cahier. Vous savez que la maîtresse a montré autre chose : ajouter 10, puis enlever 1. Et vous hésitez entre deux phrases : « fais comme la maîtresse » ou « après tout, il a trouvé ».

Têtu, ou lent ?

Le premier diagnostic est celui de la désobéissance. On lui a montré une méthode, il en emploie une autre : il n'écoute pas, il veut faire à sa tête.

Le second est celui de la vitesse. Il est juste mais lent, donc il lui faut un chronomètre et vingt calculs par soir, jusqu'à ce que ça aille plus vite.

Ces deux lectures ont un point commun : elles regardent la méthode de l'extérieur. Personne ne se demande ce que votre fils a vu, ou pas vu, dans le nombre 9.

Ce qu'il n'a pas remarqué

Ce qui lui manque n'est pas la connaissance de la méthode. Il n'a pas remarqué que 9 est voisin de 10.

Le chercheur britannique John Threlfall (université de Leeds) a publié en 2002, dans la revue Educational Studies in Mathematics, un article intitulé « Flexible Mental Calculation ». Il y soutient que « choisir une stratégie » décrit mal ce que fait un enfant efficace en calcul mental, et qu'enseigner les méthodes comme des blocs entiers ne mène pas à la souplesse. Il propose de voir le calcul comme une rencontre entre ce que l'enfant remarque dans les nombres et ce qu'il sait déjà.

Appliquée à 47 + 9, cette idée change la question : voit-il que 9, c'est presque 10 ? Un enfant qui le voit n'a pas besoin qu'on lui récite le tour « +10 −1 », il l'invente. Un enfant qui ne le voit pas peut réciter le tour dix fois et retomber sur l'addition posée dès que l'énoncé change.

Le programme officiel va dans le même sens, avec une nuance. Le document d'accompagnement d'Éduscol (« Exemples de mise en œuvre pour l'enseignement du calcul mental du CP au CM2 ») enseigne bien le tour « +10 puis −1 » : dès le CE1 pour ajouter 9, 19 ou 29, puis au CE2 avec 8, 9, 18, 19, 28, 29, 38 et 39. Mais il précise que le tour est inutile quand le chiffre des unités est 0 ou 1, comme dans 60 + 29, et il demande, pour les petits nombres à ajouter, « une procédure adaptée aux nombres en jeu ».

La nuance : le même document attend, à terme, que les élèves abandonnent les procédures peu efficaces au profit de celles que l'enseignant a présentées. Votre fils adoptera donc le tour « +10 −1 » quand il en verra l'intérêt, et l'école le lui demandera.

Le document fixe aussi un repère : en fin de CE2, quinze résultats en trois minutes, soit douze secondes par calcul. À vingt-cinq secondes, votre fils n'est pas dans l'erreur. Sa méthode l'oblige à retenir « je pose 6, je retiens 1 » pendant qu'il calcule le reste, et cela prend du temps de mémoire de travail.

Le test : 47 + 9, et « comment tu fais ? »

Ce soir, posez une seule question : « 47 + 9. Dis-moi à voix haute comment tu fais. » Le résultat, vous le connaissez déjà : écoutez le chemin.

• « 47 plus 10, 57, moins 1, 56 » : la procédure est là. Vérifiez qu'il la voit aussi ailleurs avec 47 + 11 et 47 + 19. S'il enchaîne sans effort, il n'y a rien à faire.
• « 47 plus 3, ça fait 50, plus 6, 56 » : c'est aussi une bonne méthode. Elle passe par la dizaine, et Éduscol l'enseigne pour les petits nombres à ajouter. Il a le droit de la garder.
• « 7 plus 9, 16, je pose 6, je retiens 1 » : le résultat est juste, la méthode est lourde. C'est le cas de votre fils, et les cinq minutes ci-dessous sont faites pour lui.
• « 48, 49, 50, 51... » : il compte de un en un, sur les doigts ou dans sa tête. La question dépasse l'addition et touche la numération : il ne dispose pas encore du « +10 » comme d'un pas immédiat.
• « 58 » : il a ajouté 10, puis ajouté 1 au lieu de l'enlever. Il n'a pas vu que 9 est plus petit que 10, donc que le résultat doit être plus petit que 57.

Ce qu'il ne faut surtout pas faire

Exiger « la » méthode. Si vous répondez « fais comme la maîtresse », vous obtenez au mieux une phrase apprise, dite à l'oreille de l'adulte, et abandonnée dès que vous quittez la pièce. Threlfall va dans ce sens : ce qui rend un calcul souple, c'est ce que l'enfant remarque, plus que la méthode qu'on lui fait répéter.

Le laisser continuer sans rien dire. Son procédé marche aujourd'hui avec 47 + 9. Il tiendra moins bien avec 138 + 19, et il ralentira devant un test chronométré. La méthode n'est pas à lui retirer : il faut lui rendre visible une seconde route, plus courte.

Appliquer « +10 −1 » partout. Sur 60 + 9 ou 51 + 9, le tour ne fait pas gagner de temps. Le programme le dit lui-même. Un enfant qui a compris s'en passe, alors qu'un enfant qui récite le tour l'applique même là où il ralentit.

Sortir le chronomètre le premier soir. Éduscol prévoit des tests en temps limité en classe. À la maison, la vitesse peut attendre que le déclic ait eu lieu.

Les cinq minutes : quatre mugs et sept pièces

Il vous faut quatre mugs (ou petits bols) et une cinquantaine de pièces de 1 centime, ou de lentilles, ou de billes.

1. Mettez dix pièces dans chacun des quatre mugs, et posez sept pièces à côté, en vrac. Demandez : « Combien y en a-t-il ? » Il doit dire 47 en comptant par dizaines, puis les sept.
2. Dites : « Je te donne 9 pièces de plus. » Faites glisser vers lui un mug plein, sans autre commentaire.
3. Attendez. Il verra qu'il a reçu dix pièces, alors que vous en aviez promis neuf. Si rien ne vient, posez une seule question : « Tu en as reçu combien de trop ? » Il en rend une. Il a maintenant cinq mugs et six pièces en vrac : 56.
4. Recommencez avec 47 + 11 (un mug plein et une pièce en plus), puis avec 47 + 19 (deux mugs pleins, une pièce rendue).
5. Terminez par 38 + 9, mais laissez-le choisir la façon. S'il complète 38 jusqu'à 40 avec deux des neuf pièces, puis ajoute les sept restantes, c'est bon. S'il prend un mug et rend une pièce, c'est bon aussi. Vous avez maintenant deux méthodes justes devant vous, et c'est lui qui les a produites.

Arrêtez-vous à cinq minutes. Le lendemain, reprenez sur l'ardoise, en écrivant seulement le résultat intermédiaire (57), puis la réponse. Éduscol recommande cette trace écrite aux élèves pour qui garder un résultat intermédiaire en tête est lourd : ils l'allègent peu à peu, jusqu'à s'en passer.

Le même mug pour multiplier par 10

Le programme de CE2 place à côté de celle-ci une autre compétence : multiplier un nombre par 10 ou par 100. Elle repose sur la même image.

Reprenez vos mugs. Posez trois pièces en vrac et dites : « Multiplier par 10, ça veut dire que chaque pièce devient un mug plein. » Il obtient trois mugs, donc 30. Éduscol formule cette idée ainsi : une unité devient une dizaine, une dizaine devient une centaine, et chaque chiffre prend une valeur dix fois plus grande.

Cette image protège d'un raccourci répandu, « on ajoute un zéro ». Ce raccourci donne la bonne réponse pour les nombres entiers, sans dire pourquoi. En CM, ce même enfant rencontrera 72,41 × 10 (Éduscol donne 724,1 pour résultat), et là, il n'y a plus de zéro à ajouter.

Quand en parler à l'enseignant

Si, après une à deux semaines de ces cinq minutes, votre fils ne sait toujours pas ajouter 10 sans hésiter à 57, 94 ou 108, le travail à faire se situe un cran plus bas : celui des dizaines et de leur composition. L'article sur l'addition avec retenue en CE1 et la page de la compétence ajouter et retrancher 9, 11, 19 décrivent ce palier. Les autres articles sur le calcul mental prolongent le sujet.

Parlez à l'enseignant si votre fils est repris sur un calcul juste parce que la méthode n'est pas celle du cours. Deux questions suffisent : « Quelle procédure attendez-vous pour ajouter 9 ? » et « Un résultat juste, obtenu autrement, est-il accepté ? » Elles ne mettent personne en cause, et les réponses vous disent ce que l'école attend : de la souplesse, ou une seule route.

Parlez-en aussi si, malgré les mugs, il reste à plus de vingt secondes par calcul, quelle que soit la méthode. Rien d'alarmant là-dedans : cette information aide l'enseignant à situer le trou, dans la numération ou dans les faits à mémoriser, comme les tables de multiplication.

Pour laisser votre fils s'entraîner sur ces calculs sans que vous ayez à préparer les séries, les exercices de calcul mental en CE2 de Pilo permettent de poursuivre l'entraînement à l'écran, dix minutes à la fois.