4 × 3 = 7 : ce que votre enfant doit voir avant la première table de multiplication

Jeudi, 17 h 50. Sur la fiche de la semaine, une ligne que vous lisez par-dessus l'épaule de votre enfant : « 4 × 3 = … ». Il réfléchit à peine, écrit 7, et passe à la suivante : « 5 × 2 = … ». Il écrit 7.

Vous savez que 4 × 3 fait 12. Vous ne savez pas par où commencer, puisque personne ne lui a encore demandé d'apprendre une table.

« Il n'a pas appris ses tables »

C'est la première explication qui vient, et elle a sa logique : on lui demande 4 × 3, il ne connaît pas la réponse, il faut donc qu'il l'apprenne. On imprime la table de 3, on la colle sur le frigo, on la récite au dîner.

La deuxième explication est plus sévère : il n'a pas regardé le signe. « Fais attention, c'est fois, pas plus. » Il regarde. Il écrit 7 quand même.

Relisez pourtant ce qu'il a fait. 4 et 3, cela fait bien 7 : le calcul est juste, sur le bon couple de nombres. Devant un signe qui ne lui évoque encore rien, il a choisi l'opération qu'il connaît. Il n'y a aucune inattention là-dedans, seulement une décision raisonnable, prise faute d'image.

Un signe qui ne montre encore rien

Pour votre enfant, le signe + a une image : on met ensemble. Le signe − aussi : on enlève. Le signe × n'en a pas, tant qu'il n'a pas vu passer des paquets égaux.

Les chercheurs connaissent bien ce point de départ. Dans leur synthèse « De la multiplication aux fractions », publiée en juin 2022 par le Conseil scientifique de l'Éducation nationale, Emmanuel Sander et ses coauteurs expliquent que la conception intuitive de la multiplication est l'addition répétée. C'est un bon départ : « Léo a 3 paquets de 10 gâteaux », un enfant de 7 ans sait déjà trouver le total en ajoutant.

Ce même point de départ a un revers, que la synthèse illustre avec une étude de Brissiaud et Sander (2010). En CE1, « combien y a-t-il d'images dans 4 paquets de 10 images ? » est réussi par une majorité d'élèves. « Combien dans 10 paquets de 4 images ? » est deux fois moins bien réussi, alors que c'est la même multiplication. La raison est simple : 10 + 10 + 10 + 10 se calcule sans effort, alors que 4 + 4 + 4 et ainsi de suite, dix fois, devient périlleux.

Pour un enfant qui ne voit la multiplication que comme une addition répétée, 4 × 3 et 3 × 4 sont donc deux histoires différentes. 3 + 3 + 3 + 3 d'un côté, 4 + 4 + 4 de l'autre : rien ne lui dit que le total sera le même. Les auteurs de la synthèse recommandent d'y ajouter des représentations en tableau (des points rangés en rectangle), qui rendent cette égalité visible d'un coup d'œil.

Voilà ce qui doit être en place avant la première table : des paquets égaux, l'écriture en addition, la lecture du signe ×, le tableau de points, et l'idée que l'ordre ne change pas le total. Les attendus de fin d'année de CE1 publiés par Éduscol précisent d'ailleurs que l'élève connaît le sens du signe × et donnent cet exemple : 7 + 7 + 7 + 7 = 4 × 7 = 7 × 4. Le sens vient avant les résultats.

Le test en une question, à faire ce soir

Prenez des billes, des pâtes ou des boutons, une feuille et un crayon. Posez cette seule question :

« 4 paquets de 3 billes. Écris-moi ça en addition, puis dessine. »

Ne montrez pas la réponse, ne commentez pas, regardez ce qu'il produit.

Il écrit 3 + 3 + 3 + 3 et dessine quatre groupes de trois. Le sens des paquets est en place. Passez directement aux étapes 3 et 4 ci-dessous, et vous pourrez aborder les tables de 2 et de 5 (voir la compétence).

Il écrit 4 + 3 = 7. Pour lui, × est une opération entre deux nombres, sans paquets derrière. C'est exactement le cas de la fiche du début. Commencez à l'étape 1.

Il écrit 4 + 4 + 4 et dessine trois groupes de quatre. Il a inversé le nombre de paquets et leur taille. Le total est le même par chance, et c'est une bonne occasion : demandez-lui de vous montrer les paquets sur la table, puis passez aux étapes 3 et 4, qui vont lui montrer pourquoi cela ne change rien au total.

Il dessine douze points en vrac, ou fait quatre groupes de tailles inégales. Il a compris qu'il fallait un total, pas qu'il fallait des paquets égaux. Reprenez à l'étape 1, en insistant sur « le même nombre dans chaque paquet ».

Ce qu'il vaut mieux ne pas faire

Ne lancez pas la récitation de la table de 3. Sans image derrière, 4 × 3 = 12 devient une phrase à répéter, et il aura appris une chanson dont il ne se sert pas devant un problème. C'est le sujet de notre article sur pourquoi réciter ne suffit pas.

Ne lui donnez pas « on peut retourner, c'est pareil » comme une règle. Cette phrase juste pour la multiplication devient piégeuse le jour où il l'applique à 12 − 5. Faites-lui plutôt voir pourquoi, à l'étape 4.

Ne redites pas « regarde le signe ». Il l'a regardé. Il n'y trouve encore rien.

N'exigez pas la lecture « quatre fois trois » dans le bon sens à tout prix. Pour l'instant, qu'il sache montrer les paquets compte davantage que la formulation. Elle viendra en répétant.

Cinq minutes avec douze billes

Il vous faut douze billes (ou pâtes, ou boutons), quatre verres ou bols, une feuille et un crayon.

1. Des paquets égaux. Dites : « Mets 3 billes dans chaque verre. » Il y a quatre verres. Demandez : « Combien de billes en tout ? » Laissez-le compter comme il veut, un par un si besoin. Ici, la méthode importe peu.

2. L'addition, puis le signe. « Écris-moi ça en addition. » Il écrit 3 + 3 + 3 + 3 = 12. Dites alors : « Les mathématiciens ont une écriture plus courte. Quatre paquets de trois, ça s'écrit 4 × 3, et ça se lit quatre fois trois. » Écrivez 4 × 3 = 12 sous l'addition. Recommencez avec 5 paquets de 2 (dix billes) : c'est la deuxième ligne de la fiche du début, et il n'écrira plus 7.

3. Le tableau. Retirez les verres et rangez les douze billes sur la feuille en quatre rangées de trois, bien alignées. Demandez : « Combien de rangées ? Combien de billes dans chaque rangée ? » Puis dessinez ensemble les douze points au crayon, à la place des billes.

4. Le regard de côté. Avec un crayon d'une autre couleur, demandez-lui d'entourer les colonnes, pas les rangées. Il trouve trois colonnes de quatre. Demandez : « Combien de billes en tout, cette fois ? » Certains recomptent, d'autres disent « douze aussi ! ». Ne dites rien : la découverte est pour lui. Écrivez ensuite 3 × 4 = 12 sous 4 × 3 = 12.

5. On arrête. Cinq minutes suffisent, même s'il en réclame davantage. Le lendemain, une seule question avec d'autres nombres : « 3 paquets de 2 billes, écris-moi ça en addition, puis dessine. »

Vous saurez que c'est acquis quand il dessine ses paquets tout seul avant d'écrire quoi que ce soit, ou quand il vous dit, pour un nouveau calcul : « c'est trois paquets de quatre, ou quatre paquets de trois, c'est pareil ».

Quand en parler à l'enseignant

Il est normal que « 10 paquets de 2 » demande plus d'effort que « 2 paquets de 10 » : c'est ce que montre l'étude citée plus haut. Ne vous alarmez pas si l'écart se voit chez vous aussi.

Deux signes méritent en revanche un regard plus attentif. Le premier : après deux semaines de cinq minutes, il fabrique toujours les paquets un par un sans voir l'addition qui va avec. Vérifiez alors qu'il sait ajouter sans retenue, et qu'il sait compter de 2 en 2 et de 5 en 5 en sautant, sans repartir de 1. Ces deux appuis mènent aux tables de 2 et de 5. Le second : il comprend les paquets à la maison mais les perd dès que l'exercice est écrit, ce qui indique que le pont entre l'objet et le signe n'est pas encore construit.

Dans les deux cas, dites à l'enseignant ce que vous avez observé et demandez quelle image la classe utilise : paquets, tableaux de points, rectangles. Si la maison et la classe partagent la même image, l'enfant n'a plus qu'une seule histoire à retenir. Vous trouverez d'autres repères dans notre rubrique tables de multiplication, et l'ordre dans lequel les attaquer une fois le sens acquis dans tables de multiplication CE2 : dans quel ordre ?.

Pour prolonger ces paquets sans fiche à imprimer, les exercices de CE1 de Pilo reprennent les groupes égaux et les tableaux de points, quelques minutes par jour.