38 + 25 = 513 : pourquoi votre enfant se perd dans la petite retenue

Il est 18 h 40, le cahier de maths est ouvert sur la table de la cuisine. Votre enfant pose 38 + 25, aligne ses chiffres, calcule à voix basse et écrit 513.

Il efface, recommence, et cette fois écrit 53. Vous dites « et la retenue ? ». Il ajoute un petit 1 quelque part, et vous sentez bien qu'il ne sait pas pourquoi.

La bonne réponse était 63. Et demain, devant 47 + 36, on repartira pour un tour.

« Il est tête en l'air »

C'est le diagnostic que presque tout le monde pose : il a oublié la retenue, donc il est distrait, il doit faire attention.

Regardez pourtant ses deux erreurs de près. Elles n'ont rien d'aléatoire.

Dans 513, il a fait 8 + 5 = 13 et il a écrit 13 en entier sous la colonne des unités. Puis 3 + 2 = 5 sous la colonne des dizaines. Chaque calcul est juste : pour lui, 13 se range là où on vient de le trouver.

Dans 53, il a senti qu'on ne pouvait pas mettre deux chiffres dans une seule colonne. Il a gardé le 3, et le 1 s'est évaporé. Il ne l'a pas perdu par distraction : il ne savait pas que ce 1 représentait quelque chose.

Un enfant inattentif se tromperait un peu partout, dans un sens puis dans l'autre. Le vôtre se trompe toujours au même endroit, de la même façon. Cette régularité trahit une règle qu'il s'est fabriquée, et une règle ne se corrige pas en disant « fais attention ».

Le petit 1 est un échange

La retenue repose sur une idée très simple : dix unités font une dizaine. Quand la colonne de droite en contient dix ou plus, on les regroupe par dix, et chaque paquet de dix change de colonne.

Dans 38 + 25, les unités donnent 8 + 5 = 13. Treize unités, c'est un paquet de dix et trois unités qui restent. Les trois restent chez les unités. Le paquet de dix part chez les dizaines, où il rejoint les 3 dizaines de 38 et les 2 dizaines de 25 : 3 + 2 + 1 = 6. D'où 63.

Le petit 1 écrit en haut de la colonne ne vaut donc pas un. Il vaut dix.

Pour que ce geste ait un sens, votre enfant a besoin de deux appuis. Le premier est la valeur de position : savoir que 38, ce sont 3 dizaines et 8 unités, et non un 3 posé à côté d'un 8. Le second, ce sont les compléments à 10 : voir d'un coup d'œil qu'il manque 2 à 8 pour faire dix, et donc que 8 + 5 déborde de 3. Sans ces deux appuis, « la petite retenue en haut » devient un geste magique à reproduire. Et un geste qu'on ne comprend pas finit toujours par s'oublier.

Ce lien entre la technique et la compréhension des nombres n'est pas une intuition de parent. En novembre 2015, la conférence de consensus du Cnesco Nombres et opérations : premiers apprentissages à l'école primaire l'a inscrit dans ses recommandations : l'enseignement des procédures de calcul écrit, « comme les retenues dans une addition », doit fournir aux élèves des occasions de développer leur compréhension des nombres. Le même dossier rappelle que l'enfant doit comprendre que « la valeur d'un chiffre dépend de sa position dans l'écriture d'un nombre », avec un exemple parlant : dans 24, le 2 vaut vingt.

Le test en une question, ce soir

Reprenez une addition qu'il a réussie, retenue comprise. Posez le doigt sur le petit 1 et demandez :

« Le petit 1 que tu as écrit en haut, il vaut combien ? »

S'il répond « dix » ou « une dizaine », sans hésiter, le sens est là. Ses oublis viennent plutôt de la trace écrite : il sait ce qu'il fait, il ne sait pas encore où le noter de façon fiable. Quelques additions où il dit à voix haute « je garde une dizaine » règlent souvent la question.

S'il répond « un », « c'est la retenue », ou s'il hausse les épaules, vous tenez le trou. Il connaît le nom du geste, pas ce qu'il transporte. C'est exactement l'enfant qui écrit 53 un soir sur deux.

Pour descendre d'un cran, ajoutez une seconde question : « Dans 38, il y a combien de dizaines ? » Une réponse immédiate (« trois ») est bon signe. Une hésitation, ou « huit », indique que l'appui qui manque se situe plus bas, dans la décomposition des nombres en dizaines et unités.

Ce qu'il ne faut surtout pas faire

Le réflexe naturel est de redonner la recette, plus fort : « Quand ça dépasse 9, tu écris le chiffre de droite en bas et tu mets 1 en haut. » La recette fonctionne le soir même. Elle tient quelque temps, puis elle se mélange avec celle de la soustraction, et les erreurs reviennent, souvent plus étranges qu'avant.

Évitez aussi la série de vingt additions « pour qu'il s'entraîne ». Si le petit 1 ne veut rien dire pour lui, chaque addition renforce le geste vide.

Enfin, remplacez « tu as encore oublié la retenue » par : « Raconte-moi ce que tu as fait dans la colonne de droite. » La première phrase lui apprend que son problème est la mémoire. La seconde vous montre, en trente secondes, ce qu'il pense faire du 13.

Cinq minutes avec des pièces de 10 et de 1 centime

Il vous faut une poignée de pièces de 10 centimes et une quinzaine de pièces de 1 centime. Écartez les pièces de 2 et de 5, elles brouilleraient le jeu.

Posez deux assiettes devant lui, dans l'ordre de l'opération posée : à gauche l'assiette des pièces de 10, à droite celle des pièces de 1.

1. Demandez-lui de faire 38 centimes. Il doit poser 3 pièces de 10 à gauche et 8 pièces de 1 à droite.
2. Ajoutez 25 centimes : 2 pièces de 10 à gauche, 5 pièces de 1 à droite.
3. Annoncez la seule règle du jeu : dans l'assiette de droite, on n'a jamais le droit de garder dix pièces ou plus.
4. Laissez-le compter. Il en trouve 13. Il sent qu'il doit faire quelque chose. Taisez-vous et attendez, même vingt secondes.
5. S'il bloque, une seule question : « Qu'est-ce que tu pourrais échanger avec moi ? » Il vous tend dix pièces de 1, vous lui rendez une pièce de 10. Il la pose dans l'assiette de gauche.
6. Faites-lui compter ce qu'il a : 6 pièces de 10 et 3 pièces de 1. Soixante-trois centimes.

Pendant le comptage, glissez les compléments à 10 : « Tu avais 8 pièces. Combien il en fallait pour arriver à dix ? » Deux. On les a prises dans les 5, il en reste 3. Il vient de faire, avec les doigts sur la table, le calcul de la colonne des unités.

Maintenant seulement, sortez le cahier et posez 38 + 25. Quand il arrive au 13, demandez : « Qu'est-ce qu'on a fait avec les pièces ? » Il vous dira qu'on a échangé dix pièces. Le petit 1 qu'il écrit en haut, c'est la pièce de 10 qui change d'assiette.

Recommencez avec deux autres additions, 47 + 36 puis 29 + 14, et arrêtez-vous là. Le lendemain, une seule addition, sans les pièces, en lui faisant dire à voix haute : « j'échange dix unités contre une dizaine ».

Ne pas confondre avec la soustraction

La soustraction avec retenue repose sur le même échange, dans l'autre sens. En addition, on regroupe dix unités pour fabriquer une dizaine. En soustraction, on défait une dizaine pour retrouver dix unités, quand il n'y en a pas assez à droite pour enlever.

Les erreurs ne se ressemblent pas pour autant. L'enfant qui écrit 42 − 27 = 25 a inventé une règle pour contourner une colonne impossible : nous l'avons décrit dans l'article sur l'erreur typique de la soustraction avec retenue. L'enfant qui écrit 38 + 25 = 53 ne contourne rien. Il perd une dizaine en route.

Les pièces servent pourtant aux deux. Si les deux erreurs coexistent chez lui, vous trouverez d'autres pistes dans nos articles sur la soustraction avec retenue.

Quand s'inquiéter, et quand en parler à l'enseignant

Laissez au jeu des pièces quelques soirs. S'il échange spontanément dix pièces de 1 contre une de 10 mais continue d'écrire 53 sur le cahier, le sens est acquis et seule la trace écrite résiste.

Si, au bout de deux semaines, il ne voit toujours pas pourquoi dix pièces de 1 valent une pièce de 10, ou s'il ne sait pas dire combien il y a de dizaines dans 38, l'appui qui manque est la numération jusqu'à 100. Rien d'alarmant, mais c'est le bon moment pour en parler à l'enseignant.

Pour ce rendez-vous, une question pratique : comment la classe note-t-elle la retenue ? Selon les enseignants, le petit 1 s'écrit en haut de la colonne, en bas, ou dans une case prévue pour lui. Si vous montrez une autre façon à la maison, votre enfant se retrouve avec deux gestes pour une seule idée.

La page consacrée à l'addition avec retenue au CE1 récapitule ce qu'on attend et les compétences qui la préparent, dont les compléments à 10.

Une fois l'échange évident avec les pièces, il reste à le faire vivre sur le papier, un peu chaque jour. Les exercices de CE1 de Pilo suivent la même progression : dizaines et unités, compléments à 10, puis addition posée.