« 0,25 est plus grand que 0,3 » : l'erreur de décimaux qui n'est pas une erreur de calcul

Sur le cahier, l'exercice tient en une ligne : range ces nombres du plus petit au plus grand : 0,3 · 0,25 · 0,7.

Votre fils écrit : 0,3 · 0,7 · 0,25.

Vous lui demandez pourquoi. Il répond, parfaitement sûr de lui : « parce que 25, c'est plus grand que 7 ».

Ce que tout le monde se dit

Qu'il a confondu, qu'il n'a pas relu, qu'il va trop vite. Le réflexe est de réexpliquer la règle : « après la virgule, ce n'est plus pareil ». Puis de faire dix exercices de plus.

Le lendemain, il refait la même chose.

C'est normal, et ce n'est pas de l'étourderie. Il n'a pas oublié une règle : il en applique une autre, cohérente, qu'il a apprise et qui a toujours marché jusqu'ici.

La règle qu'il applique sans le savoir

Depuis le CP, votre enfant a construit une certitude utile : un nombre plus long est un nombre plus grand. 125 est plus grand que 99. 1 000 est plus grand que 999. Cette règle ne l'a jamais trahi.

Puis arrivent les décimaux. Et elle devient fausse, sans prévenir.

Deux chercheuses françaises, Catherine Sackur-Grisvard et François Léonard, ont décrit ce phénomène dès 1985 : les élèves ne répondent pas au hasard, ils appliquent des règles intermédiaires parfaitement systématiques, qui donnent de bonnes réponses dans certains cas et de mauvaises dans d'autres (Cognition and Instruction, 2(2), p. 157-174). Quatre ans plus tard, une équipe menée par Lauren Resnick en a établi la classification qui fait toujours référence (Journal for Research in Mathematics Education, 1989, 20(1), p. 8-27).

Deux règles fausses, exactement opposées, cohabitent dans une classe :

• « Le plus long est le plus grand. » L'enfant lit la partie décimale comme un entier. 0,25 lui paraît plus grand que 0,3, parce que 25 est plus grand que 3.
• « Le plus court est le plus grand. » L'enfant a compris que les décimales sont des morceaux de plus en plus petits, et il en déduit qu'un nombre qui en a beaucoup est forcément minuscule. 0,3 lui paraît alors plus grand que 0,35.

Un travail australien portant sur 103 élèves de CM2 a mesuré environ 5 % d'enfants appliquant la première règle, et environ 11 % appliquant la seconde. Deux constats qui comptent pour vous : ces erreurs touchent une minorité d'élèves, et surtout, elles vont dans des sens opposés. Réexpliquer « plus il y a de chiffres, plus c'est petit » répare la première et fabrique la seconde.

C'est pour cela qu'il faut savoir laquelle il applique avant de dire quoi que ce soit.

Le test en une minute

Trois comparaisons, dans cet ordre, sans commentaire entre les deux. Notez ses réponses avant de réagir.

1. 0,3 ou 0,25 ? (réponse : 0,3)
2. 0,4 ou 0,45 ? (réponse : 0,45)
3. 0,8 ou 0,75 ? (réponse : 0,8)

Il répond 0,25 · 0,45 · 0,75. Il applique « le plus long est le plus grand ». Il lit les décimales comme un entier.

Il répond 0,3 · 0,4 · 0,8. Il applique « le plus court est le plus grand ». Il a compris que les décimales sont petites, et il a surgénéralisé.

Il répond 0,3 · 0,45 · 0,8. C'est juste. Demandez-lui comment il a fait : s'il dit « je compare les dixièmes d'abord », c'est solide.

Un enfant qui donne trois réponses justes sans savoir dire pourquoi n'est pas encore à l'abri. La règle fausse ressort sur les cas qu'il n'a pas rencontrés.

Cinq minutes ce soir, avec de la monnaie

Le décimal devient évident dès qu'il cesse d'être une suite de chiffres pour redevenir une quantité. La monnaie est le meilleur support, parce que votre enfant la connaît déjà.

Il vous faut une pièce de 1 €, des pièces de 10 centimes et des pièces de 1 centime. À défaut, dessinez-les.

1. Posez la pièce de 1 €. « Combien de pièces de 10 centimes pour faire un euro ? » Dix. « Et de pièces de 1 centime ? » Cent.
2. Écrivez 0,3 € et 0,25 €. Demandez-lui de poser les pièces : trois pièces de 10 centimes d'un côté, deux pièces de 10 centimes et cinq de 1 centime de l'autre.
3. Laissez-le regarder les deux tas. Ne dites rien. C'est le moment où ça bascule.
4. Puis la question qui installe la méthode : « Qui a le plus de pièces de 10 centimes ? »

Recommencez avec 0,8 et 0,75, puis 0,5 et 0,45. À chaque fois, la même question sur les pièces de 10 centimes.

Le jour suivant, sans les pièces : « dans 0,25, il y a combien de dixièmes ? ». S'il hésite, ressortez la monnaie. Le chemin passe toujours par là : on manipule, puis on imagine, puis on calcule.

Ce qu'il ne faut surtout pas faire

Ne dites pas « on ajoute un zéro pour avoir le même nombre de chiffres ». C'est une astuce qui marche, et c'est précisément le problème : elle donne la bonne réponse sans rien comprendre. Un enfant qui compare 0,30 et 0,25 en se disant « 30 est plus grand que 25 » applique toujours sa règle d'entiers. Il la réappliquera sur 0,3 et 0,25, et il se trompera encore. L'astuce a masqué l'erreur au lieu de la corriger.

Réservez-la pour plus tard, quand les dixièmes et les centièmes seront des quantités et non des positions.

Quand en parler à l'enseignant

Si, après deux semaines de ces cinq minutes, les trois comparaisons du test restent fausses dans le même sens, ce n'est plus une question d'entraînement : la valeur des rangs n'est pas construite, et cela se verra aussi sur les grands nombres entiers. Demandez un rendez-vous, et apportez le test avec ses réponses. Un enseignant fait beaucoup d'une information aussi précise.

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Le signe que c'est gagné : un jour, devant 0,3 et 0,25, il commence par « alors, trois dixièmes, et là deux dixièmes… ». Il ne compare plus des chiffres. Il compare des quantités.

Le CM1 est en accès anticipé dans Pilo : les exercices sur les décimaux existent et détectent précisément cette erreur, mais le niveau n'a pas encore été relu par un enseignant de CM1. Nous préférons vous le dire avant que vous n'essayiez.